1) 개념
행렬의 고유벡터는 그 행렬의 방향을 나타낸다. (바람의 방향처럼)
위 그림의 파란색 벡터를 보면 방향이 변하지 않는다.
바로 저런 벡터가 고유벡터 되시겠다.
위 그림의 파란색 벡터 역시 방향이 변하지 않는다.
간단히 정리하면,
위의 모나리자 그림에 행렬을 적용하면 오른쪽과 같이 변한다.
그러는 와중에 변하지 않고 자신의 방향을 지켜주는 벡터가 있다.
이걸 고유벡터라고 부르고,
다음에 보겠지만 이런놈들 덕에 우리는 회전변환을 쉽게 이해할 수 있게된다.
2) 설명
일단,
A 는 변환행렬
v 는 고유벡터
람다는 고유값
이다.
식을 대충 이해해본다면
A 행렬은 고유벡터 v의 크기 변화로 이해해보겠다는 것이다.
예를들면,
위 행렬의 고유벡터는 (1,1), (-1,1) 이다. 고유값은 3,-1 이다.
그러면 이 행렬 A가 벡터 x = (x1, x2) 에 변환을 가할 때, 이 변환을 고유벡터 v1, v2가 기저를 이루어 생성하는 고유벡터 공간에서 이해를 하면, v1 방향으로는 3배, v2 방향으로는 -1배한 벡터들의 합으로 변환이 가해진다는 것을 알 수 있다.
다음 그림으로 이해하면,
x 의 선형변환을 x1, x2 의 직교 기저로 이해하는 것보다,
v1, v2 의 고유벡터가 이루는 고유공간 내에서 확대/축소 결과로 이해하는 것이 훨씬 쉽다.
3) 대각화 (고유값 분해; eigendecomposition)
자신의 고유벡터를 열벡터로 하는 행렬 P 와
자신의 고유값을 대각원소로 갖는 행렬 람다를
바로 위의 식과 같이 분해하는 것을 고유값 분해라고 한다.
이렇게 대각화 해놓고 나면,
A의 거듭제곱, 역행렬, 대각합, 행렬 다항식 등을 쉽게 계산할 수 있다.
이처럼 고유값을 활용한 대각화를 통해서
보다 쉬운 기저를 선택해내고, 그 공간안에서 문제를 해결함으로써
복잡도를 줄이는것이 고유값, 고유벡터의 그 핵심이 다.
단, 고유값 분해가 가능하려면,
일차독립인 N 개의 일차독립인 고유벡터를 가져야 한다.
참고)
https://deeplearning4j.org/kr/kr-eigenvector
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